Fórmula theta da opção binária

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Opção de colocação binária Theta.
Theta mede a mudança no preço de uma opção ao longo do tempo e é o gradiente da inclinação do perfil do preço da opção de colocação binária devido à degradação do tempo.
Esta seção sobre a opção de venda binária theta, como com a opção theta da opção de chamada binária, está em duas partes:
Eu. A primeira seção abrange a fórmula, a derivação da fórmula dos primeiros princípios, além da opção de venda binária theta em relação ao tempo de caducidade e volatilidade implícita,
ii. enquanto a segunda seção analisa a teta como refletida pela fórmula como uma ferramenta analítica útil, discute suas desvantagens e fornece uma teta alternativa "prática".
Opção de colocação binária Theta e Finta Theta.
O theta Θ de qualquer opção é definido por:
P = preço da opção.
t = tempo em anos para expirar.
δP = uma alteração no valor de P.
δt = uma alteração no valor de t.
A Figura 1 mostra os perfis de preço da opção de venda binária em diferentes horários de expiração. A Figura 2 mostra como, com sete preços subjacentes estáticos, as opções de colocação binária mudam de valor à medida que os dias de expiração caem de 25 para 0, de modo que, de fato, um perfil da Figura 2 é uma seção transversal vertical nesse preço subjacente na Figura 1.
Quando o preço subjacente é de 100,00, a opção é no dinheiro e a passagem do tempo não tem efeito sobre o preço da opção binária, pois é sempre 50. Quando o preço subjacente é inferior a 100,00, os perfis de preços todo o declive para cima refletindo um positivo theta, enquanto os perfis fora do dinheiro, ou seja, onde S & gt; 100,00, os perfis de preços, todos inclinados, significando uma teta negativa.
Fig. 1 - Opções de venda binária Perfis de preço w. r.t. Hora de expirar.
Fig.2 - Perfis de preço da opção de compra binária com preços subjacentes fixos.
O theta (como representado pela fórmula acima) mede o gradiente das encostas na Figura 2. Quando há mais de 20 dias para o decadência do preço de expiração (seja negativo ou positivo) é muito baixo; À medida que o tempo passa, a teta aumenta em valor absoluto com esse aumento dependendo de quão perto do ataque o subjacente.
A Figura 3 é o perfil de preços S = 99.75 nos últimos 11 dias da sua vida. Os acordes foram adicionados centrados em torno de cinco dias para expirar, de modo que, por exemplo, a corda de cinco dias se estenda de 7,5 dias para 2,5 dias até a expiração. Uma vez que o perfil de preços está aumentando exponencialmente, o gradiente das cordas aumenta quanto mais o comprimento da corda.
O gradiente da corda é definido por:
Gradiente = - (P2 - P1) / (S2 - S1)
P2 = valor de colocação binária em t2.
P1 = Valor de colocação binária em t1.
isto é, gradiente de 8 dias = - (62.6554 - 83.0906) / (9 - 1) = 2.5544.
Fig.3 - Inclinação da Theta em $ 99.75 mais aproximando Theta 'acordes'
como indicado na linha inferior da coluna central da Tabela 1.
Os gradientes da "corda de 5 dias" e "cordão de 2 dias" são calculados da mesma maneira e também são apresentados na coluna central da Tabela 1.
À medida que a diferença de tempo se estreita (como refletido por δt = 5 e δt = 2), o gradiente tende para o theta de 1.5446 aos 5 dias para expirar, ou seja, onde δt = 0. O theta é, portanto, o primeiro diferencial do valor justo do binary put no que se refere ao tempo de expiração e pode ser afirmado matematicamente como:
como δt → 0, Θ = dP / dt.
o que significa que, à medida que δt cai para zero, o gradiente se aproxima da tangente (theta) do perfil de preços da Figura 2 aos 5 dias.
Opção de troca binária Theta w. r.t. Hora de expirar.
A Figura 1 ilustra os perfis de colocação binária de volatilidade implícita de 5,0% com a Figura 4, fornecendo as thetas associadas para os mesmos dias para expirar.
Independentemente dos dias para expirar a teta quando o dinheiro sempre é zero. Quando out-of-the-money a opção de venda binária theta é sempre negativa (como com as opções de colocação convencionais fora do dinheiro), mas quando in-the-money a opção de venda binária theta é positiva (ao contrário de in-the - opções de colocação convencional de dinheiro).
Com dias suficientes para expirar (25 dias na Figura 4), a opção de venda binária theta é quase plana em quase zero. À medida que o tempo passa, o valor máximo absoluto do theta aumenta com o pico e através do fechamento progressivo da greve. Isso pode ser explicado pelo caso em que há apenas 0,5 dias para expirar, onde, a um preço subjacente de 99,90, a opção de compra binária vale 70,5941, de modo que 100-70,5941 = 29,4059 é o valor que a opção aumentará na próxima metade dia se o subjacente permanecer em 99.90.
Fig.4 - Opção de colocação binária 'Teórica' Theta w. r.t. Hora de expirar.
Embora, às 99.90 e 1 dia de expiração, a opção de venda binária valha 64.9362 e, portanto, apreciará em 35.0638 para caducidade, (5.6579 mais do que no meio-dia para expirar) a opção de venda binária theta é menor, pois a theta é anual medida, não necessariamente prática.
Opção de troca binária Theta w. r.t. Volatilidade implícita.
Figuras 5 e amp; 6 fornecem os perfis de preços das opções de venda binária em uma variedade de volatilidades implícitas com a opção de venda binária associada theta. Como é habitual, a volatilidade implícita tem um efeito semelhante nos perfis de preços, mas existem algumas diferenças sutis entre os perfis theta de opções de opções binárias das Figs. 4 & amp; 6.
A teta absoluta máxima na Figura 6 é razoavelmente estável em torno de 2,43, independentemente da volatilidade implícita, embora a volatilidade implícita determine o quão próximo do golpe do pico e da calha em theta.
Fig. 5 - Opções de venda binária Perfis de preço w. r.t. Volatilidade implícita.
Fig.6 - Opção de colocação binária 'Teórica' Theta w. r.t. Volatilidade implícita.
Independentemente da volatilidade implícita, a opção de venda binária theta viaja através de zero pelo motivo agora familiar de que os binários em dinheiro têm um preço igual a 50 ou muito próximos.
Thetatical Theta e Theta Prático.
A partir da Figura 3 acima, é (espero) visualmente aparente que uma medida igual de tempo para trás fornece uma diminuição no valor da opção de venda que é menor que o aumento no valor da opção para um salto equivalente para o tempo, por exemplo, no prazo de 5 dias para expirar, o valor justo da opção de venda binária é 66.6643, então, usando o exemplo com δt = 2, as opções de 6 dias e 4 dias valem, respectivamente, 65.3088 e 64.4685. Então, do 6º dia para o 5º dia, a opção ganha:
Apreciação do preço do dia 6 ao dia 5 = (66.6643-65.3088) = 1.3555.
enquanto do 5º dia até o 4º dia a opção perde:
Apreciação do preço do dia 5 ao dia 4 = (68.4685-66.6643) = 1.8042.
A Tabela 2 apresenta o valor da opção em dias para expirar de 7 a 0 com a diferença diária mais a teta "teórica"; é evidente que a valorização real de um dia para o outro é maior que a teta teórica. A opção de opção binária "teórica" ​​na theta nesta instância é derivada da fórmula de Eq (1) acima dividida por 365 (Eq (1) fornece uma taxa anual) e multiplicada por 100 (Eq (1) assume uma faixa de preço de opção binária entre 0 e 1, não 0 e 100).
Isso novamente exige que a questão seja discutida na Opção de chamada binária Theta quanto à eficácia de usar a fórmula de Eq (1) quando não pode ser mais simples calcular o theta como calculado a partir da linha de "Apreciação do dia" da Tabela 2. Não é particularmente matematicamente elegante, mas há uma série de ajustes igualmente inelegantes feitos pelos praticantes do mercado para modelos matemáticos "elegantes" para fazê-los funcionar, com a volatilidade "desviar" sendo uma das mais óbvias. Para ser ainda mais profundo, o modelo financeiro CAPM depende de uma taxa de juros sem risco ............ existe uma taxa de juros sem risco ?: e se o FMI foi rebaixado pela Moody's sobre os PORCOS ?!
As figuras 7a-f oferecem ilustrações gráficas da diferença entre teta teórica e teta prática, um termo que cunho para simplesmente descrever a mudança real no preço de um dia para o outro. A Figura 7a mostra que, à medida que a decadência do preço da opção binária (positiva ou negativa) é insignificante, a teta teórica quase se sobrepõe à teta prática, especialmente quando a volatilidade implícita é baixa.
Fig.7a - Opção de colocação binária Theta, 'Theortical' & amp; 'Prático', 5 dias para expirar w. r.t. Volatilidade implícita.
Com 10 e 4 dias para expirar, o teta teórico gradualmente se torna mais impreciso como medida da mudança real do preço da opção, com o decadência real do tempo sendo absolutamente maior nos picos e canais do theta binário put options theta perfis, mas tornando-se menor à medida que os movimentos subjacentes longe da greve. Este "alisamento" é o que se pode esperar ao comparar as mudanças de preços reais da teta "prática" e as mudanças de preços nocionais retratadas pela teta "teórica", que em si é uma taxa anualizada e, de fato, tem um mecanismo construído em média.
As escalas da mão esquerda das Figuras 7a-c aumentam gradualmente em valor à medida que a teta aumenta ao longo do tempo.
Fig. 7b - Opção de colocação binária Theta, 'Theortical' & amp; 'Prático', 2,5 dias para expirar w. r.t. Volatilidade implícita.
Fig.7c - Opção de colocação binária Theta, 'Theortical' & amp; 'Prático', 1 dia para expirar w. r.t. Volatilidade implícita.
Quando há um dia para expirar (Figura 7d), a subvalorização da decadência do tempo como gerada pela teta "teórica" ​​é a mais pronunciada, porque neste ponto, a teta "prática" é, de fato, a opção de venda binária premium quando fora - o dinheiro e 100 menos a opção de compra binária premium quando em dinheiro.
Fig.7d - Opção de colocação binária Theta, 'Theortical' & amp; 'Prático', 0,5 dia para expirar w. r.t. Volatilidade implícita.
Finalmente figuras 7e e amp; 7f ilustram a teta "teórica" ​​absoluta aumentando agressivamente enquanto a teta "prática" absoluta está caindo, a última devido ao menor prêmio da opção.
Fig. 7e - Opção de colocação binária Theta, 'Theortical' & amp; 'Prático', 0,2 dias para expirar w. r.t. Volatilidade implícita.
Fig. 7f - Opção de colocação binária Theta, 'Theortical' & amp; 'Prático', 0.1 dias para expirar w. r.t. Volatilidade implícita.
As escalas das Figuras 7e e amp; 7f são dignos de nota, em particular a Fig. 7f, onde a teta "teórica" ​​agora se eleva acima de 100, o que é um conceito interessante, pois o alcance máximo da opção de colocação binária é limitado a 100!
Pontos de destaque são:
1) Considerando que as opções de opção de venda convencional são sempre negativas, pois o valor do tempo é sempre positivo, o valor do tempo com as opções de colocação binária pode ser positivo ou negativo dependendo se eles estão dentro ou fora do dinheiro.
2) Considerando que, com as opções de venda convencionais, o theta está sempre no seu valor absoluto mais alto quando no dinheiro, a opção de venda binária, quando o dinheiro sempre é zero.
3) As opções de colocação binária fora do dinheiro têm opções negativas ou zero, as opções de venda binária no the-money têm zero ou positiva.
4) Usando Eq (1) para calcular theta pode gerar theta em excesso de 100.
(i) O theta gerado pela equação acima é um número anualizado, então deve-se exigir uma teta diária como uma aproximação, então o theta precisa ser dividido por 365.
(ii) Esta fórmula baseia-se em preços de opção de venda binária que variam entre 0 e 1. Se um theta for necessário para preços de opção de venda binária que variam entre 0 e 100, então o theta deve ser multiplicado por 100.
Se theta é representado apenas pelos resultados da Eq (1), então é uma ferramenta útil para estabelecer a decadência do tempo diário, se dividido por 365 mais, há tempo suficiente para expirar. Mas, com o tempo de expiração, essa teta "teórica" ​​torna-se cada vez mais imprecisa como ferramenta para prever a mudança de preço da opção binária ao longo do tempo.
O delta pode ser protegido pela negociação do subjacente; até que o tempo em si se torne uma entidade negociável (um futuro?), o hedge theta só pode ser alcançado através da negociação de outras opções.
Tal como acontece com os deltas, à medida que a expiração se aproxima, Theta pode atingir números ludicrously altos, de modo que sempre se deve observar o princípio: "Cuidado com os gregos com números de análise tolos ..." (como sempre).

Opção de chamada binária Theta.
A opção de chamada binária Theta mede a mudança no preço de uma opção de chamada binária ao longo do tempo e é o gradiente da inclinação do perfil de preço das opções binárias em relação ao decadência do tempo.
Esta seção sobre a opção de chamada binária theta, como com a opção theta de opção binária, está em duas partes:
Eu. a primeira seção cobre a derivação da fórmula (que pode ser encontrada imediatamente acima do Resumo) dos primeiros princípios, além das opções de chamadas binárias theta em relação ao tempo de expiração e volatilidade implícita,
ii. enquanto a segunda seção analisa a teta como refletida pela fórmula como uma ferramenta analítica útil, discute suas desvantagens e fornece uma teta alternativa "prática", seguida pela fórmula.
Opção de chamada binária Theta e Finta Theta.
O theta Θ de qualquer opção é definido por:
P = preço da opção.
t = tempo em anos para expirar.
δP = uma alteração no valor de P.
δt = uma alteração no valor de t.
N. B. A equação das opções de chamadas binárias theta pode ser encontrada na parte inferior da página.
A Figura 1 mostra os perfis de preço da opção de chamada binária em diferentes horários de expiração. A Figura 2 mostra como, com sete preços subjacentes estáticos, as opções de chamadas binárias mudam de valor à medida que os dias de expiração caem de 25 para 0, de modo que, de fato, um perfil da Figura 2 é uma seção transversal vertical a esse preço subjacente na Figura 1.
Quando o preço subjacente é de 100,00, a opção é no dinheiro e a passagem do tempo não tem efeito sobre o preço da opção binária, pois é sempre 50. Quando o preço subjacente está acima de 100,00, os perfis de preços todo inclinam para cima refletindo um positivo theta, enquanto os perfis fora do dinheiro, ou seja, onde S & lt; 100,00, os perfis de preços, todos inclinados, significando uma teta negativa.
Fig. 1 - Opções de chamada binária Preço perfis w. r.t. Hora de expirar.
Fig. 2 - Opções de chamada binária Preço perfis w. r.t. Hora de expirar.
The theta (as represented by the above formula) measures the gradient of the slopes in Figure 2. When there is over 20 days to expiry price decay (whether negative or positive) is very low; as time passes the theta increases in absolute value with that increase dependent on how close to the strike the underlying is.
Figure 3 is the S=99.75 price profile over the last 11 days of its life. Chords have been added centred around five days to expiry so that, for example, the five-day chord stretches from 7.5 days to 2.5 days to expiry. Since the price profile is decreasing exponentially, the gradient of the chords decrease the longer the length of the chord.
O gradiente da corda é definido por:
Gradient = ‒ ( P2 – P1 ) / ( t2 – t1 )
P2 = Binary Call value at t2.
P1 = Binary Call value at t1.
i. e. Gradient = ― (37.3446 ― 16.9094) / (9 ‒ 1) = ― 2.5544.
Fig.3 – Slope of the Theta at $99.75 plus approximating Theta ‘chords’
como indicado na linha inferior da coluna central da Tabela 1.
The gradients of the ‘5 day chord’ and ‘2 day chord’ are calculated in the same manner and are also presented in the central column of Table 1.
As the time difference narrows (as reflected by δt = 5 and δt = 2) the gradient tends to the theta of ―1.5446 at 5 days to expiry, i. e. where δt = 0. The theta is therefore the first differential of the binary call fair value with respect to time to expiry and can be stated mathematically as:
as δt → 0, ϴ = dP / dt.
which means that as δt falls to zero the gradient approaches the tangent (theta) of the price profile of Figure 2 at 5 days.
Binary Call Option Theta w. r.t. Hora de expirar.
Figure 1 illustrates 5.0% implied volatility binary call profiles with Figure 4 providing the associated thetas for the same days to expiry.
Irrespective of the days to expiry the theta when at-the-money is always zero. When out-of-the-money the binary call theta is always negative (as with out-of-the-money conventional call options) but when in-the-money the binary call options theta is positive (unlike in-the-money conventional call options).
With sufficient days to expiry (25 days in Figure 4) the binary call option theta is almost flat at close to zero. As time passes the absolute maximum value of the theta increases with the peak and trough progressively closing on the strike. This can be explained by the case where there is just 0.5 days to expiry where at an underlying price of 99.90 the binary call option is worth 29.4059 which is the amount that the option will decrease by over the next half-day if the underlying remains at 99.90.
Fig.4 – Binary Call Option ‘Theoretical’ Theta w. r.t. Hora de expirar.
Although at 99.90 and 1-day to expiry the binary call option is worth 35.0638 (5.6579 more than at the half-day to expiry) the binary call theta is lower as the theta is an annual measurement, not necessarily a practical one.
Binary Call Option Theta w. r.t. Volatilidade implícita.
Figuras 5 e amp; 6 provide the binary call options price profiles over a range of implied volatilities with the associated binary call theta. As is usual the implied volatility has a similar effect on the price profiles but there are some subtle differences between the binary call theta profiles of Figs. 4 & amp; 6.
The maximum absolute theta in Figure 6 is fairly steady at around 2.43 irrespective of the implied volatility, although the implied volatility does determine how close to the strike the peak and trough in theta is.
Fig. 5 - Opções de chamada binária Perfis de preço w. r.t. Volatilidade implícita.
Fig.6 – Binary Call Option ‘Theoretical’ Theta w. r.t. Volatilidade implícita.
Irrespective of implied volatility the binary call theta travels through zero for the now familiar reason that at-the-money binaries are priced at 50, or very close to it.
‘Theoretical’ Theta and ‘Practical’ Theta.
From Figure 3 above it is (hopefully) visually apparent that an equal measure of time backwards provides an increase in call option value which is less than the decrease in option value for an equivalent jump forwards in time, e. g. at time 5 days to expiry the binary call option fair value is 33.3357, so using the example with δt=2, the 6-day and 4-day options are worth respectively 34.6912 and 31.5315. So from the 6th day to the 5th day the option loses:
Price decay from Day 6 to Day 5 = (34.6912―33.3357) = 1.3555.
while from the 5th day to the 4th day the option loses:
Price decay from Day 5 to Day 4 = (33.3357―31.5315) = 1.8042.
Table 2 presents the option value at days to expiry from 7 to 0 with the daily difference plus the ‘theoretical’ theta; it is apparent that the actual decay from one day to the next is greater than the theoretical theta. The ‘theoretical’ binary call theta in this instance is derived from the formula of Eq(1) above divided by 365 (Eq(1) provides an annual rate) and multiplied by 100 (Eq(1) assumes a binary option price range between 0 and 1, not 0 and 100).
This begs the question as to the efficacy of using the formula of Eq(1) when might it not be simpler to compute the theta as calculated from the ‘Day’s Decay’ row of Table 2. Not particularly mathematically elegant, but there are a number of equally inelegant adjustments made by market practitioners to ‘elegant’ mathematical models in order to make them work, with volatility ‘skew’ being one of the more obvious. To be even deeper, the CAPM financial model is dependent on a ‘risk-free’ rate of interest…………is there such a thing as a ‘risk-free’ rate of interest?: what if the IMF was downgraded by Moody’s over the PIGS?!
Figures 7a-f offer graphical illustrations of the difference between ‘theoretical’ theta and ‘practical’ theta, a term I’ve coined to simply describe the actual change in price from one day to the next. Figure 7a shows that as the binary call option price decay (either positive or negative) is negligible then the theoretical theta almost overlaps the practical theta, especially when implied volatility is low.
Fig.7a – Binary Call Option Theta, ‘Theoretical’ & ‘Practical’, 25-Days to Expiry w. r.t. Volatilidade implícita.
With 10 and 4 days to expiry the theoretical theta gradually becomes more inaccurate as a measure of actual option price change with the actual time decay being absolutely greater at the peaks and troughs of the theta binary call options theta profiles but becoming lesser as the underlying moves away from the strike. This ‘smoothing’ is what might be expected when comparing the actual price changes of the ‘practical’ theta and the notional price changes portrayed by the ‘theoretical’ theta which itself is an annualised rate and in effect has a built in averaging mechanism.
The left hand scales of Figures 7a-c are gradually increasing in value as the theta increases over time.
Fig.7b – Binary Call Option Theta, ‘Theoretical’ & ‘Practical’, 10-Days to Expiry w. r.t. Volatilidade implícita.
Fig.7c – Binary Call Option Theta, ‘Theoretical’ & ‘Practical’, 4-Days to Expiry w. r.t. Volatilidade implícita.
When there is one day to expiry (Figure 7d) the undervaluation of time decay as generated by the ‘theoretical’ theta is at its most pronounced because at this point the ‘practical’ theta is in fact the binary call option premium when out-of-the-money and 100 less the binary call option premium when in-the-money.
Fig.7d – Binary Call Option Theta, ‘Theoretical’ & ‘Practical’, 1-Day to Expiry w. r.t. Volatilidade implícita.
Finally Figures 7e & 7f illustrate the absolute ‘theoretical’ theta rising aggressively while the absolute ‘practical’ theta is now falling, the latter due to the lower premium of the option.
Fig.7e – Binary Call Option Theta, ‘Theoretical’ & ‘Practical’, 0.4-Days to Expiry w. r.t. Volatilidade implícita.
Fig.7f – Binary Call Option Theta, ‘Theoretical’ & ‘Practical’, 0.1-Days to Expiry w. r.t. Volatilidade implícita.
The scales of Figures 7e & 7f are worth noting, in particular Fig 7f where the ‘theoretical’ theta now rises above 100, which is an interesting concept since the maximum range of the binary call option is limited to 100!
Pontos de destaque são:
1) Whereas conventional call option thetas are always negative as time value is always positive, time value with binary call options can be positive or negative dependent on whether they are in - or out-of-the-money.
2) Whereas with conventional call options theta is always at its absolute highest when at-the-money, the binary call options theta when at-the-money is always zero.
3) Out-of-the-money binary call options have negative or zero theta, in-the-money binary call options have a zero or positive theta.
4) Using Eq(1) to calculate theta can generate theta in excess of 100.
(i) The theta generated by the above equation is an annualised number, so should a daily theta be required as an approximation then the theta needs to be divided by 365.
(ii) This formula is based on binary call option prices that range between 0 and 1. Should a theta be required for binary call option prices that range between 0 and 100 then the theta should be multiplied by 100.
If theta is solely represented by the results of Eq(1) then it is a useful tool for establishing daily time decay if divided by 365 plus there is sufficient time to expiry. But as time to expiry falls this ‘theoretical’ theta becomes increasingly inaccurate as a tool for forecasting the binary option price change over time.
The delta can be hedged away by trading the underlying; until time itself becomes a tradable entity (a future?) hedging theta can only be achieved by trading other options.
As with deltas, as expiry approaches the theta can reach ludicrously high numbers so one should always observe the tenet: “Beware Greeks bearing silly analysis numbers…” (as ever).

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